1단계: 조건 분석 및 분류 기준 설정
제시문 [가], [나]에 의하여 \(f(f(x))=x\)를 만족하는 함수 \(f\)는 원소들이 1개짜리 고정점(\(f(a)=a\))이 되거나 2개짜리 쌍(\(f(a)=b, f(b)=a\))을 이루어야 한다.
조건 (나)에서 \(f(1) \neq 1\)이고 \(f(2) \neq 2\)이므로, \(1\)과 \(2\)는 모두 다른 원소와 2개짜리 쌍을 이루어야 한다.
이에 따라 다음 두 가지 경우로 나누어 분석한다:

2단계: (Case 1) \(1\)과 \(2\)가 서로 한 쌍을 이루는 경우
즉, \(f(1)=2, f(2)=1\)인 경우이다.
이 경우 남은 4개의 원소 \(\{3, 4, 5, 6\}\)에 대하여 \(f(f(x))=x\)를 만족시키는 함수의 개수를 구하면 된다.
- 2개짜리 쌍이 0개인 경우 (모두 자기 자신 대응): \(1\)가지
- 2개짜리 쌍이 1개인 경우 (4개 중 2개를 택해 짝을 짓고 나머지 2개는 고정점): \[ \binom{4}{2} = 6\text{가지} \] - 2개짜리 쌍이 2개인 경우 (4개를 2개, 2개로 분할하여 짝짓기): \[ \frac{\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{2!} = \frac{6 \times 1}{2} = 3\text{가지} \] 따라서 (Case 1)의 총 가짓수는 \[ 1 + 6 + 3 = 10\text{가지} \] 이다.

3단계: (Case 2) \(1\)과 \(2\)가 서로 한 쌍을 이루지 않는 경우
\(1\)은 \(2\)가 아닌 다른 원소 \(\{3, 4, 5, 6\}\) 중 하나와 짝을 이루어야 한다.
1) \(1\)의 짝을 선택하는 경우의 수: \[ \binom{4}{1} = 4\text{가지} \] (편의상 \(1\)과 \(3\)이 짝이라 하자: \(f(1)=3, f(3)=1\))

2) 이제 원소 \(2\)의 짝을 선택해야 한다. \(2\)는 \(2\) 자신이 될 수 없고, \(1\)과 \(3\)은 이미 짝이 결정되었으므로 남은 세 원소 \(\{4, 5, 6\}\) 중 하나와 짝을 이루어야 한다. 그 경우의 수는 \[ \binom{3}{1} = 3\text{가지} \] (편의상 \(2\)와 \(4\)가 짝이라 하자: \(f(2)=4, f(4)=2\))

3) 이제 남은 2개의 원소 \(\{5, 6\}\)의 대응을 결정해야 한다. - 둘 다 고정점인 경우: \(f(5)=5, f(6)=6\) (1가지) - 둘이 서로 짝인 경우: \(f(5)=6, f(6)=5\) (1가지) 따라서 남은 두 원소의 대응은 총 \(2\)가지이다.
그러므로 (Case 2)의 총 가짓수는 곱의 법칙에 의하여 \[ 4 \times 3 \times 2 = 24\text{가지} \] 이다.

4단계: 전체 경우의 수 합산
합의 법칙에 의하여 구하는 함수 \(f\)의 총 개수는 \[ 10 + 24 = 34 \] 이다.
따라서 조건을 만족시키는 함수 \(f\)의 개수는 \(34\)이다.

(1) 삼차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\) 구하기
함수 \(g(x) = |f(x) - f(1)|\)에서 \(h(x) = f(x) - f(1)\)이라 하자.
\(h(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이고, \(h(1) = f(1) - f(1) = 0\)이다.
또한 \(h'(1) = f'(1) = 0\)이 주어졌으므로, 인수정리에 의하여 \(h(x)\)는 \((x - 1)^2\)을 인수로 갖는다.
제시문 [가]에 의하여, \(g(x) = |h(x)|\)가 오직 \(x=4\)에서만 미분가능하지 않으려면 \(h(4) = 0\)이고 \(h'(4) \neq 0\)이어야 한다.
따라서 삼차함수 \(h(x)\)는 \(x=1\)을 이중근으로, \(x=4\)를 단순 실근으로 가져야 하므로 \[ h(x) = f(x) - f(1) = (x - 1)^2 (x - 4) \] 로 확정된다.
양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[ \begin{aligned} f'(x) &= 2(x - 1)(x - 4) + (x - 1)^2 = (x - 1)\{ 2(x - 4) + (x - 1) \} \\ &= (x - 1)(3x - 9) = 3(x - 1)(x - 3) \end{aligned} \] 이다.

(2) 극댓값과 극솟값의 차 구하기
(1)에서 \(f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)\)이므로, \(f'(x) = 0\)의 근은 \(x = 1\) 또는 \(x = 3\)이다.
\(f(x)\)는 최고차항의 계수가 양수이므로 \(x = 1\)에서 극대, \(x = 3\)에서 극소를 갖는다.
극댓값과 극솟값의 차를 구하는 방법은 다음과 같다:

[방법 1: 직접 함숫값 계산]
\(f(x) - f(1) = (x - 1)^2(x - 4)\)이므로 - 극댓값: \(f(1)\) - 극솟값: \(f(3) = f(1) + (3 - 1)^2(3 - 4) = f(1) + 4(-1) = f(1) - 4\)
따라서 극댓값과 극솟값의 차는 \[ f(1) - f(3) = f(1) - \{f(1) - 4\} = 4 \] 이다.

[방법 2: 제시문 [나]의 공식 이용]
최고차항의 계수 \(a = 1\), 극대점 \(\alpha = 1\), 극소점 \(\beta = 3\)이므로 \[ \text{차} = \frac{|1|}{2}(3 - 1)^3 = \frac{1}{2} \cdot 2^3 = \frac{8}{2} = 4 \] 이다.

정답: (1) \(f'(x) = \mathbf{3(x - 1)(x - 3)}\), (2) \(4\)

1단계: \(t = \sin x\)로 1차 치환적분 적용
피적분함수에서 \(t = \sin x\)로 치환하자.
양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[ \frac{dt}{dx} = \cos x \implies dt = \cos x\,dx \] 이다. 적분 구간의 변화를 조사하면 - \(x = 0\)일 때, \(t = \sin 0 = 0\) - \(x = \frac{\pi}{2}\)일 때, \(t = \sin \frac{\pi}{2} = 1\) 따라서 제시문 [가]의 치환적분법 공식에 의하여 \[ K = \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2}\,dt \] 로 변환된다.

2단계: \(t = \tan\theta\) 삼각치환 적용
제시문 [나]의 안내에 따라 \(t = \tan\theta\) (\(-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\))로 치환하자.
양변을 \(\theta\)에 대하여 미분하면 \[ dt = \sec^2\theta\,d\theta \] 이다. 또한 피적분함수의 분모는 삼각함수의 기본 항등식에 의하여 \[ 1 + t^2 = 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \] 이다.
치환 변수 \(\theta\)의 적분 구간은 - \(t = 0\)일 때, \(\tan\theta = 0 \implies \theta = 0\) - \(t = 1\)일 때, \(\tan\theta = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{4}\) 이다.

3단계: 정적분 계산 및 정답 도출
변환된 정적분 식에 대입하면 \[ K = \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\sec^2\theta} \cdot \sec^2\theta\,d\theta = \int_0^{\pi/4} 1\,d\theta = \left[ \theta\right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \] 이다.
따라서 구하는 정적분의 값은 \(\frac{\pi}{4}\)이다.

1단계: 급수식의 일반항 변형
주어진 식의 분모에서 \(n^2\)을 묶어내면 \[ (n + k)^2 = \left\{ n \left(1 + \frac{k}{n}\right) \right\}^2 = n^2 \left(1 + \frac{k}{n}\right)^2 \] 이다. 따라서 일반항은 \[ \frac{n}{(n + k)^2} = \frac{n}{n^2 \left(1 + \frac{k}{n}\right)^2} = \frac{1}{\left(1 + \frac{k}{n}\right)^2} \cdot \frac{1}{n} \] 로 나타낼 수 있다.
구하고자 하는 극한값 \(M\)은 \[ M = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(1 + \frac{k}{n}\right)^2} \cdot \frac{1}{n} \] 이다.

2단계: 정적분으로의 변환
제시문 [가]의 공식을 적용하기 위하여 \[ x_k = 1 + \frac{k}{n}, \quad \Delta x = \frac{1}{n} \] 로 두자. \(k\)가 \(1\)부터 \(n\)까지 변할 때 \(x_k\)는 \(1\)에서 \(2\)까지 변하므로 적분 구간은 \([1, 2]\)이다.
피적분함수는 \(f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}\)이므로, 급수는 다음과 같은 정적분으로 변환된다: \[ M = \int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx \] 3단계: 정적분 계산 및 정답 도출
제시문 [나]의 부정적분 공식에 의하여 \[ M = \int_1^2 x^{-2}\,dx = \left[ -\frac{1}{x}\right]_1^2 \] 이다. 위끝과 아래끝을 대입하면 \[ M = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \] 이다.
(참고: \(x_k = \frac{k}{n}\)으로 두어 \(\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2}\,dx = \left[ -\frac{1}{1+x}\right]_0^1 = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}\)로 풀어도 동일함)

따라서 구하는 극한값은 \(\frac{1}{2}\)이다.